Cos'è sigma algebra?

Sigma Algebra (σ-algebra)

Una sigma algebra (o σ-algebra) su un insieme X è una collezione di sottoinsiemi di X, chiamata anche classe di insiemi, che soddisfa tre proprietà fondamentali:

1. Insieme vuoto e insieme totale: L' insieme%20vuoto (∅) appartiene alla σ-algebra e anche l' insieme%20totale X appartiene alla σ-algebra.

2. Chiusura rispetto al complemento: Se un insieme A appartiene alla σ-algebra, allora anche il suo complemento A^c (rispetto a X) appartiene alla σ-algebra.

3. Chiusura rispetto all'unione numerabile: Se A₁, A₂, A₃, ... sono insiemi appartenenti alla σ-algebra, allora anche la loro unione%20numerabile ∪_i=1^∞ A_i appartiene alla σ-algebra.

In sintesi:

Sia X un insieme non vuoto. Una famiglia Σ di sottoinsiemi di X è una σ-algebra se:

• ∅ ∈ Σ
• X ∈ Σ
• Se A ∈ Σ, allora A^c ∈ Σ
• Se A_i ∈ Σ per i=1,2,3,..., allora ∪_i=1^∞ A_i ∈ Σ

Implicazioni e proprietà aggiuntive:

• La σ-algebra è chiusa anche rispetto all' intersezione%20numerabile (questa proprietà deriva dalle proprietà 2 e 3 usando le leggi di De Morgan).
• La σ-algebra è la base per la definizione di spazi%20misurabili e la teoria della misura. Permette di definire quali sottoinsiemi di X sono "misurabili".
• La più piccola σ-algebra su un insieme X è {∅, X} (sigma algebra banale).
• La più grande σ-algebra su un insieme X è l' insieme%20delle%20parti di X, P(X), che contiene tutti i sottoinsiemi di X.

Esempi:

• Se X = {a, b, c}, allora un possibile σ-algebra su X è {∅, {a}, {b, c}, X}.
• La σ-algebra%20di%20Borel su ℝ è la σ-algebra generata dagli intervalli aperti di ℝ.

Utilizzo:

Le σ-algebre sono fondamentali in:

• Teoria%20della%20probabilità: permettono di definire eventi misurabili e quindi di calcolare le probabilità.
• Analisi%20funzionale: forniscono la struttura necessaria per definire integrali e funzioni misurabili.
• Teoria%20della%20misura: definiscono gli insiemi misurabili.